Elegi Pemberontakan Pendidikan Matematika 12: Apakah Matematika Kontradiktif? (Bagian kedua)

Oleh Marsigit

Seperti yang telah saya katakan bahwa pertanyaan ini hanyalah menyangkut "skala ketelitian memandang dan menguji konsistensi logika dan bentuk formal matematikanya".

Seperti kita ketahui bahwa secara filosofis, semua Logicist dan Formalist tanpa kecuali adalah seorang Foundamentalist. Artinya bahwa Sistem atau Struktur Matematika yang dikembangkan berawal dari Anggapan atau Pra-anggapan (Assumption or Pre-assumption) yang contohnya bisa berupa Unsur Primitif (Primitive Element), Kesepakatan (Convention/Agreement), Pengandaian (Assumption) atau Definition.

Sistem Matematika yang terbuka terancam oleh Ketidaklengkapannya; dan Sistem Matematika yang tertutup terancam Ketidakkonsistenannya (Teorema Kelengkapan dan Teorema Ketidaklengkapan dari Godel). Artinya, agar tetap terjamin Konsistensi logika matematikanya maka kaum Logicist-Formalist-Foundationalist cenderung membangun Sistem Matematika yang bersifat Tertutup.

Skala ketelitian memandang dan menguji konsistensi dan Ketidak-kontrakdisian Sistem Matematika berkenaan dengan Awal-Akhirnya Sistem, Sub-sistem, atau Unsur-unsur atau Elemennya.

Tidak dibantah bahwa jika Sistem Matematika mencakup Asumsi Dasar, Definisi, Aksioma, Teorema sampai pada Lema-lemanya, maka selama ini kaum Logicist-Formalist-Foundationalist telah berhasil membuktikan kokohnya Konsistensi dan Tiadanya Kontradiksi (menurut istilah almh Prof. Ir RMJT Soehakso, sebagai Rigor).

Lantas dimanakah relevansi pertanyaan "Apakah Matematika Kontradiktif"? Relevansinya adalah bahwa pertanyaan ini berusaha Menguji adanya Kontradiksi pada setiap Unsur-unsurnya dari sistem matematika yang ada.

Hasilnya sangat mengejutkan, karena DITEMUKAN BAHWA SETIAP UNSUR PEMBENTUK SISTEM MATEMATIKA TERNYATA BERSIFAT KONTRADIKTIF. Anehnya, unsur-unsur kontradiktif demikian telah berhasil membangun Sistem Matematika yang diklaim oleh Logicist-Formalist-Foundationalist sebagai KONSISTEN dan TIDAK KONTRADIKTIF.

Bagimana kita menemukan Kontradiksi dari setiap unsur-unsur itu? Akan saya uraikan pada Bagian Ketiga.